程序员必备的少量数学基础知识

作为一个标准的程序员，应该有少量基本的数学素养，尤其现在很多人在学习人工智能相关知识。很多程序员可能连这样少量基础的数学识题都答复不上来。

1、矩阵A(m,n)与矩阵B(n,k)乘积C维度是多少？

2、抛一枚硬币，正面表示1，反面表示0，那么取值的数学期望E(x)是多少？

作为一个傲娇的程序员，应该要掌握这些数学基础知识，才更有可能码出一个伟大的产品。

线性代数

向量

向量（vector）是由一组实数组成的有序数组，同时具备大小和方向。一个n维向量a是由n个有序实数组成，表示为

a = [a1, a2, · · · , an]

矩阵

线性映射 矩阵通常表示一个n维线性空间v到m维线性空间w的一个映射f: v -> w

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注：为了书写方便，X.T，表示向量X的转置。

这里：X(x1,x2,…,xn).T，y(y1,y2,…ym).T，都是列向量。分别表示v,w两个线性空间中的两个向量。A(m,n)是一个m*n的矩阵，形容了从v到w的一个线性映射。

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转置 将矩阵行列互换。

加法 假如A和B 都为m × n的矩阵，则A和B 的加也是m × n的矩阵，其每个元素是A和B相应元素相加。

[A + B]ij = aij + bij .

乘法 如A是k × m矩阵和B 是m × n矩阵，则乘积AB 是一个k × n的矩阵。

对角矩阵 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或者其余值。一个n × n的对角矩阵A满足：

[A]ij = 0 if i ̸= j ∀i, j ∈ {1, · · · , n}

特征值与特征矢量 假如一个标量λ和一个非零向量v满足

Av = λv,

则λ和v分别称为矩阵A的特征值和特征向量。

矩阵分解 一个矩阵通常可以用少量比较“简单”的矩阵来表示，称为矩阵分解。

奇异值分解 一个m×n的矩阵A的奇异值分解

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其中U 和V 分别为m × m和n×n 的正交矩阵，Σ为m × n的对角矩阵，其对角

线上的元素称为奇异值（singular value）。

特征分解 一个n × n的方块矩阵A的特征分解（Eigendecomposition）定义为

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其中Q为n × n的方块矩阵，其每一列都为A的特征向量，^为对角阵，其每一

个对角元素为A的特征值。

假如A为对称矩阵，则A可以被分解为

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其中Q为正交阵。

微积分

导数 对于定义域和值域都是实数域的函数f : R → R，若f(x)在点x0 的某个邻域∆x内，极限

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存在，则称函数f(x)在点x0 处可导，f'(x0)称为其导数，或者导函数。

若函数f(x)在其定义域包含的某区间内每一个点都可导，那么也可以说函数f(x)在这个区间内可导。连续函数不肯定可导，可导函数肯定连续。例如函数|x|为连续函数，但在点x = 0处不可导。

导数法则

加法法则 y = f(x),z = g(x)则

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乘法法则

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链式法则 求复合函数导数的一个法则，是在微积分中计算导数的一种常用方法。若x ∈ R，y = g(x) ∈ R，z = f(y) ∈ R，则
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Logistic 函数

Logistic函数是一种常用的S形函数，是比利时数学家 Pierre François Verhulst在1844-1845年研究种群数量的增长模型时提出命名的，最初作为一种生

态学模型。

Logistic函数定义为：

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当参数为(k = 1, x0 = 0, L = 1)时，logistic函数称为标准logistic函数，记

为σ(x)。

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标准logistic函数在机器学习中使用得非常广泛，经常用来将一个实数空间的数映射到(0, 1)区间。标准logistic函数的导数为：

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softmax 函数

softmax函数是将多个标量映射为一个概率分布。对于K 个标量x1, · · · , xK，softmax 函数定义为

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这样，我们可以将K 个变量x1, · · · , xK 转换为一个分布：z1, · · · , zK，满足

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当softmax 函数的输入为K 维向量x时，
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其中，1K = [1, · · · , 1]K×1 是K 维的全1向量。其导数为

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数学优化

离散优化和连续优化:根据输入变量x的值域能否为实数域，数学优化问题可以分为离散优化问题和连续优化问题。

无束缚优化和束缚优化:在连续优化问题中，根据能否有变量的束缚条件，可以将优化问题分为无束缚优化问题和束缚优化问题。

优化算法

全局最优和局部最优

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海赛矩阵

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《运筹学里面有讲》，前面一篇文章计算梯度步长的时候也用到了：
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梯度

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向获得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent Method），也叫最速下降法（Steepest Descend Method），经常用来求解无束缚优化的极小值问题。

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梯度下降法的过程如图所示。曲线是等高线（水平集），即函数f为不同常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向（梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达函数f 值的局部最优解。

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梯度上升法

假如我们要求解一个最大值问题，就需要向梯度正方向迭代进行搜索，逐步接近函数的局部极大值点，这个过程则被称为梯度上升法。

概率论

概率论主要研究大量随机现象中的数量规律，其应用十分广泛，几乎遍及各个领域。

离散随机变量

假如随机变量X 所可能取的值为有限可列举的，有n个有限取值

{x1, · · · , xn},

则称X 为离散随机变量。要理解X 的统计规律，就必需知道它取每种可能值xi 的概率，即

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p(x1), · · · , p(xn)称为离散型随机变量X 的概率分布或者分布，并且满足

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常见的离散随机概率分布有：

伯努利分布

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二项分布

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连续随机变量

与离散随机变量不同，少量随机变量X 的取值是不可列举的，由一律实数

或者者由一部分区间组成，比方

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则称X 为连续随机变量。

概率密度函数

连续随机变量X 的概率分布一般用概率密度函数p(x)来形容。p(x)为可积函数，并满足：

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均匀分布 若a, b为有限数，[a, b]上的均匀分布的概率密度函数定义为

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正态分布 又名高斯分布，是自然界最常见的一种分布，并且具备很多良好的性质，在很多领域都有非常重要的影响力，其概率密度函数为
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其中，σ > 0，µ和σ 均为常数。若随机变量X 服从一个参数为µ和σ 的概率分布，简记为

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当µ = 0，σ = 1时，称为标准正态分布。

均匀分布和正态分布的概率密度函数图：

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累积分布函数

对于一个随机变量X，其累积分布函数是随机变量X 的取值小于等于x的概率。

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以连续随机变量X 为例，累积分布函数定义为：

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其中p(x)为概率密度函数，标准正态分布的累计分布函数:

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随机向量

随机向量是指一组随机变量构成的向量。假如X1, X2, · · · , Xn 为n个随机变量, 那么称 [X1, X2, · · · , Xn] 为一个 n 维随机向量。一维随机向量称为随机变量。随机向量也分为离散随机向量和连续随机向量。

条件概率分布 对于离散随机向量(X, Y )，已知X = x的条件下，随机变量Y = y 的条件概率为：

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对于二维连续随机向量(X, Y )，已知X = x的条件下，随机变量Y = y 的条件概率密度函数为

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期望和方差

期望 对于离散变量X，其概率分布为p(x1), · · · , p(xn)，X 的期望（expectation）或者均值定义为

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对于连续随机变量X，概率密度函数为p(x)，其期望定义为

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方差 随机变量X 的方差（variance）用来定义它的概率分布的离散程度，定义为
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标准差 随机变量 X 的方差也称为它的二阶矩。X 的根方差或者标准差。

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协方差 两个连续随机变量X 和Y 的协方差（covariance）用来衡量两个随机变量的分布之间的总体变化性，定义为
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协方差经常也用来衡量两个随机变量之间的线性相关性。假如两个随机变量的协方差为0，那么称这两个随机变量是线性不相关。两个随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间独立的，可能存在某种非线性的函数关系。反之，假如X 与Y 是统计独立的，那么它们之间的协方差肯定为0。

随机过程

随机过程（stochastic process）是一组随机变量Xt 的集合，其中t属于一个索引（index）集合T 。索引集合T 可以定义在时间域或者者空间域，但一般为时间域，以实数或者正数表示。当t为实数时，随机过程为连续随机过程；当t为整数时，为离散随机过程。日常生活中的很多例子包括股票的波动、语音信号、身高的变化等都可以看作是随机过程。常见的和时间相关的随机过程模型包括贝努力过程、随机游走、马尔可夫过程等。

马尔可夫过程 指一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态。

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其中X0:t 表示变量集合X0, X1, · · · , Xt，x0:t 为在状态空间中的状态序列。

马尔可夫链 离散时间的马尔可夫过程也称为马尔可夫链（Markov chain）。假如一个马尔可夫链的条件概率

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马尔可夫的使用可以看前面一篇写的有意思的文章：

随机过程还有高斯过程，比较复杂，这里就不详细说明了。

信息论

信息论（information theory）是数学、物理、统计、计算机科学等多个学科的交叉领域。信息论是由 Claude Shannon最早提出的，主要研究信息的量化、存储和通信等方法。在机器学习相关领域，信息论也有着大量的应用。比方特征抽取、统计推断、自然语言解决等。

自信息和熵

在信息论中，熵用来衡量一个随机事件的不确定性。假设对一个随机变量X（取值集合为C概率分布为p(x), x ∈ C）进行编码，自信息I(x)是变量X = x时的信息量或者编码长度，定义为

I(x) = − log(p(x)),

那么随机变量X 的平均编码长度，即熵定义为

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其中当p(x) = 0时，我们定义0log0 = 0

熵是一个随机变量的平均编码长度，即自信息的数学期望。熵越高，则随机变量的信息越多；熵越低，则信息越少。假如变量X 当且仅当在x时p(x) = 1，则熵为0。也就是说，对于一个确定的信息，其熵为0，信息量也为0。假如其概率分布为一个均匀分布，则熵最大。假设一个随机变量X 有三种可能值x1, x2, x3，不同概率分布对应的熵如下：

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联合熵和条件熵 对于两个离散随机变量X 和Y ，假设X 取值集合为X；Y 取值集合为Y，其联合概率分布满足为p(x, y)，则X 和Y 的联合熵（Joint Entropy）为

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X 和Y 的条件熵为

互信息 互信息（mutual information）是衡量已知一个变量时，另一个变量不确定性的减少程度。两个离散随机变量X 和Y 的互信息定义为

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交叉熵和散度

交叉熵 对应分布为p(x)的随机变量，熵H(p)表示其最优编码长度。交叉熵是按照概率分布q 的最优编码对真实分布为p的信息进行编码的长度，定义为

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在给定p的情况下，假如q 和p越接近，交叉熵越小；假如q 和p越远，交叉熵就越大。

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