朴素贝叶斯法（naive Bayes）

作者 : 开心源码本文共527个字，预计阅读时间需要2分钟发布时间： 2022-05-12 共161人阅读

朴素贝叶斯的英文叫做 naive Bayes，换句话说就是“天真贝叶斯”，它之所以天真，是由于它认为所有的特征条件都是都是独立的，也就是说：
$\begin{array} \\ P(X = x | Y = c_k) \\ = P(X^{(1)} = x^{(1)}, X^{(2)} = x^{(2)}, ..., X^{(n)} = x^{(n)} | Y = c_k) \\ = \prod_{n=1}^N {P(X^{(n)} = x^{(n)} | Y = c_k)} \end{array}$
尽管这种假设在现实情况中是很难成立的，但是在特征条件相关性很小时，朴素贝叶斯法就能取得不错的结果。

算法释义

朴素贝叶斯法首先在特征条件独立假设的前提下学得输入/输出的联合概率分布，而后利使用贝叶斯定理求出所有可能的输出 c_k 后验概率，从中取最大的结果作为输出。

算法步骤

输入：训练数据集 T，输入实例 x
输出：实例 x 的分类
(1) 计算先验概率和条件概率：
$\begin{array} \\ P(Y = c_k) \\ P(X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k) \\ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,S_j; k=1,2,...,K \end{array}$

(2) 计算所有 y 的后验概率：
$P(Y = c_k, X = x) = P(Y = c_k) \prod_{j=1}^J P(X^{(j)} = x^{(j)} | Y = c_k), k = 1,2,...,K$

(3) 取最大的后验概率对应的 y 作为结果：
$y = arg \max_{c_k} {P(Y = c_k, X = x)}$

重要概念

贝叶斯定理

$P (A | B) = \frac {P(B | A) P(A)} {P(B)}$
经典的条件概率公式，相关的详情网上很多，这里就不详述了。

特征条件独立假设

即假设特征条件(输入的不同维度)是完全独立的，即：
$P(X^{(i)}, X^{(j)}) = P(X^{(i)})P(X^{(j)})，i ≠ j$

参数预计

在朴素贝叶斯法中，学习模型意味着预计先验概率 P(Y = c_k) 和条件概率 P(X^(j) = x^(j) | Y = c_k)，下面详情两种预计方法。

极大似然预计

$\begin{array} \\ P(Y = c_k) = \frac {\sum_{n = 1}^N I(y_n = c_k) } {N}，k = 1,2,...,K \\ P(X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k) = \frac {\sum_{n = 1}^N I(x_n^{(l)} = a_{jl}, y_n = c_k) } {P(Y = c_k) * N} \\ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,S_j; k=1,2,...,K \end{array}$

贝叶斯预计（拉普拉斯平滑）

在极大似然预计中，很有可能出现条件概率为零的情况，这样会导致其后验概率为零，很容易造成偏差，因而这里对极大似然预计法稍作改动，即贝叶斯预计：
$\begin{array} \\ P(X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k) = \frac {\sum_{n = 1}^N I(x_n^{(l)} = a_{jl}, y_n = c_k) + λ } {P(Y = c_k) * N + S_jλ} \\ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,S_j; k=1,2,...,K；λ>0 \end{array}$
当 λ = 1时即拉普拉斯平滑。

参考文献

《统计学习方法》，李航

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