深度优先搜索和广度优先搜索
不撞南墙不回头-深度优先搜索
基础部分
对于深度优先搜索和广度优先搜索,我很难形象的去表达它的定义。我们从一个例子来切入。
输入一个数字n,输出1~n的全排列。即n=3时,输出123,132,213,231,312,321
把问题形象化,如果有1,2,3三张扑克牌和编号为1,2,3的三个箱子,把三张扑克牌分别放到三个箱子里有几种方法?
我们用深度优先遍历搜索的思想来考虑这个问题。
到1号箱子面前时,我们手里有1,2,3三种牌,我们把1放进去,而后走到2号箱子面签,手里有2,3两张牌, 而后我们把2放进去,再走到3号箱子前,手里之后3这张牌,所以把3放进去,而后再往前走到我们想象出来的一个4号箱子前,我们手里没牌了,所以,前面三个箱子中放牌的组合就是要输出的一种组合方式。(123)
而后我们后退到3号箱子,把3这张拍取出来,由于这时我们手里只有一张牌,所以再往里放的话还是原来那种情况,所以我们还要再往后推,推到2号箱子前,把2从箱子中取出来,这时候我们手里有2,3两张牌,这时我们可以把3放进2号箱子,而后走到3号箱子中把2放进去,这又是一种要输出的组合方式.(132)
就找这个思路继续下去再次回退的时候,我们就要退到1号箱,取出1,而后分别放2和3进去,而后产生其他的组合方式。
有点啰嗦,但是基本是这么一个思路。
我们来看一下实现的代码
def sortNumber(self, n): flag = [False for i in range(n)] a = [0 for i in range(n)] l = [] def dfs(step): if step == n: l.append(a[:]) return for i in range(n): if flag[i] is False: flag[i] = True a[step] = i dfs(step + 1) flag[i] = False dfs(0) return l
输出是
[[0, 1, 2], [0, 2, 1], [1, 0, 2], [1, 2, 0], [2, 0, 1], [2, 1, 0]]
我们创立的a这个list相当于上面说到的箱子,flag这个list呢,来标识某一个数字能否已经被用过了。
其实主要的思想就这dfs方法里面的这个for循环中,在依次的排序中,我们默认优先使用最小的那个数字,这个for循环其实就代表了一个位置上有机会放所有的这些数字,这个flag标识就避免了在一个位置重复使用数字的问题。
假如if 成立,说明当前位置可以使用这个数字,所以把这个数字放到a这个数组中,而后flag相同为的标识改为True,也就是说明这个数已经被占用了,而后在调用方法本身,进行下一步。
flag[i] = False
这句代码是很重要的,在上面的dfs(也就是下一步)结束之后,返回到当前这个阶段,我们必需模拟收回这个数字,也就是把flag置位False,表示这个数字又可以用了。
思路大概就是这样子的,这就是深度优先搜索的一个简单的场景。用debug跟一下,一步一步的来看代码就更清晰的了。
迷宫问题
上面我们已经简单的理解了深度优先搜索,下面我们通过一个迷宫的问题来进一步数字这个算法,而后同时引出我们的广度优先搜索。
迷宫是由m行n列的单元格组成,每个单元格要不是空地,要不就是障碍物,我们的任务是找到一条从起点到终点的最短路径。
我们笼统成模型来看一下
模型
start代表起点,end代表终点,x代表障碍物也就是不能通过的点。
首先我们来分析一下,从start(0,0)这个点,甚至说是每一个点出发,都有四个方向可以走,上下左右,仅对于(0,0)这个点来说,只能往右和下走,由于往左和上就到了单元格外面了,我们可以称之为越界了。
我们用深度优先的思想来考虑的话,我们可以从出发点开始,一律都先往一个方向走,而后走到遇到障碍物或者者到了边界的情况下,在改变另一个方向,而后再走究竟,这样一直走下去。
拿到我们这个题目中,我们可以这样来思考,在走的时候,我们规定一个右下左上这样的顺序,也就是先往右走,走到不能往右走的时候在变换方向。比方我们从(0,0)走到(0,1)这个点,在(0,1)这个点也是先往右走,但是我们发现(0,2)是障碍物,所以我们就改变为往下走,走到(1,1),而后在(1,1)开始也是先向右走,这样一直走下去,直到找到我们的目标点。
其中我们要注意一点,在右下左上这四个方向中有一个方向是我们来时候的方向,在当前这个点,四个方向没有走完之前我们不要后退到上一个点,所以我们也需要一个像前面排数字代码里面的flag数组来记录当前位置时候被占用。我们必需是四个方向都走完了才能往后退到上一个换方向。
下面我贴一下代码
def depthFirstSearch(self): m = 5 n = 4 # 5行 4 列 flag = [[False for i in range(n)] for j in range(m)] # 存储不能同行的位置 a = [[False for i in range(n)] for j in range(m)] a[0][2] = True a[2][2] = True a[3][1] = True a[4][3] = True global min_step min_step = 99999 director_l = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] def dfs(x, y, step): # 什么情况下中止 (找到目标坐标) if x == 3 and y == 2: global min_step if step < min_step: min_step = step return # 右下左上 for i in range(4): # 下一个点 nextX = x + director_l[i][0] nextY = y + director_l[i][1] # 能否越界 if nextX < 0 or nextX >= m or nextY < 0 or nextY >= n: continue # 不是障碍 and 改点还没有走过 if a[x][y] is False and flag[x][y] is False: flag[x][y] = True dfs(nextX, nextY, step+1) flag[x][y] = False #回收 dfs(0, 0, 0) return min_step
首先flag这个算是二位数组吧,来记录我们位置能否占用了,而后a这个数组,是来记录整个单元格的,也就是标识那些障碍物的位置坐标。同样的,重点是这个dfs方法,他的参数x,y是指当前的坐标,step是步数。
这个大家可以看到一个director_l的数组,他是来辅助我们根据当前左边和不同方向计算下一个位置的坐标的。
dfs中我们已经注明了搜索中止的判断方式,也就是找到(3,2)这个点,而后下面的for循环,则代表四个不同的方向,每一个方向我们都会先求出他的位置,而后判断能否越界,假如没有越界在判断能否是障碍或者者能否已经走过了,满足了所有的判断条件,我们在继续往下一个点,直到找到目标,比较路径的步数。
这就是深度优先搜索了,当然,这个题目我们还有别的解法,这就到了我们说的广度优先搜索。
层层递进-广度优先搜索
我们先大体说一下广度优先搜索的思路,深度优先是先穷尽一个方向,而广度优先呢,则是基于一个位置,先拿到他所有能到达的位置,而后分别基于这些新位置,拿到他们能到达的所有位置,一次这样层层的递进,直到找到我们的终点。
示例
从(0,0)出发,可以到达(0,1)和(1,0),而后再从(0,1)出发到达(1,1),从(1,0)出发,到达(2,0)和(1,1),以此类推。
所以我们我们维护一个队列来储存每一层遍历到达的点,当然了,不要重复储存同一个点。我们用一个指针head来标识当前的基准位置,也就是说最开始指向(0,0),当储存完毕所有(0,0)能抵达的位置时,我们就应该改变我们的基准位置了,这时候head++,就到了(0,1)这个位置,而后储存完他能到的所有位置,head++,就到了(1,0),而后继续。
def breadthFirstSearch(self): class Node: def __init__(self): x = 0 y = 0 step = 0 m, n = 5, 4 # 记录 flag = [[False for i in range(n)] for j in range(m)] # 储存地图信息 a = [[False for i in range(n)] for j in range(m)] a[0][2] = True a[2][2] = True a[3][1] = True a[4][3] = True # 队列 l = [] startX, startY, step = 0, 0, 0 head = 0 index = 0 node = Node() node.x = startX node.y = startY node.step = step index += 1 l.append(node) flag[0][0] = True director_l = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] while head < index: last_node = l[head] # 解决四个方向 for i in range(4): # 当前位置 currentX = last_node.x + director_l[i][0] currentY = last_node.y + director_l[i][1] # 找到目标 if currentX == 4 and currentY == 2: print('step = ' + str(last_node.step + 1)) return #能否越界 if currentX < 0 or currentY < 0 or currentX >= m or currentY >= n: continue if a[currentX][currentY] is False and flag[currentX][currentY] is False: #不是目标 flag[currentX][currentY] = True node_new = Node() node_new.x = currentX node_new.y = currentY node_new.step = last_node.step+1 l.append(node_new) index += 1 head += 1
首先我们定义了一个节点Node的类,来封装节点位置和当前的步数,flag,a,director_l这两个数组作用跟深度优先搜索相同,l是我们维护的队列,head指针指向当前基准的那个位置的,index指针指向队列尾。首先我们先把第一个Node(也就是起点)存进队列,广度优先搜索不需要递归,只需加一个循环就行。
每次走到符合要求的位置,我们便把他封装成Node来存进对列中,每存一个index都要+1.
head指针必需在一个节点四个方向都解决完了之后才可以+1,变换下一个基准节点。
小结
简单的详情了深度优先搜索和广度优先搜索,深度优先有一种先穷尽一个方向而后结合使用回溯来找到解,广度呢,可能就是每做一次操作就涵盖了所有的可能结果,而后一步步往后推出去,找到最后的解。这算我个人的了解吧,不精确也不官方,思想也只能算是稍有体会,还得继续努力。
题外话
碍于自己的算法基础太差,最近一直在做算法题,我是先刷了一段时间的题目,发现费劲了,才开始看的书。感觉有点本末倒置。其实应该是先看看书,把算法的少量常用大类搞清楚了,形成一个知识框架,这样在遇到问题的时候可以知道往那些方向上面思考,可能会好少量吧。
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